已知在平面直角坐标系xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A（－3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过...

问题详情：

已知在平面直角坐标系xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A（－3，0），B（0，3）．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求*：直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）①见解析；②（，）或（，）．

【解析】

（1）*△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；

（2）*圆的半径，即可求解；

（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）如图1，连接BC，

∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，

∵⊙P与直线l1相切于点B，

∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，

∴△ABC为等腰直角三角形，         

则⊙P的直径长＝BC＝AB＝；     

（2）①过点作CM⊥AB，

由直线l2：y＝3x－3得：点C（1，0），

则圆的半径，

故点M是圆与直线l1的切点，

即：直线l1与⊙Q相切；            

②如图3，

当点M、N在两条直线交点的下方时，

由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，

设点Q的坐标为（m，3m－3），则点N（m，m＋3），

则，

解得：；

当点M、N在两条直线交点的上方时，

同理可得：；

故点Q的坐标为（，）或（，）．

【点睛】

本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线*质等知识点，关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题