如图1,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交x轴于点A(8,0),交y轴正半轴于点B.(1)求点B的坐标...
问题详情:
如图1,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交x轴于点A(8,0),交y轴正半轴于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)如图2,直线AC交y轴负半轴于点C,AB=BC,P为线段AB上一点,过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q,设点P的横坐标为t,线段PQ的长为d,求d与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,M为CA延长线上一点,且AM=CQ,在直线AC上方的直线AB上是否存在点N,使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形?若存在,请求出点N的坐标及PN的长度;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵y=﹣x+b交x轴于点A(8,0),
∴0=﹣×8+b,b=6,
∴直线AB解析式为y=﹣x+6,
令x=0,y=6,B(0,6);
(2)∵A(8,0),B(0,6),
∴OA=8,OB=6,
∵∠AOB=90°,
∴AB==10=BC,
∴OC=4,
∴点C(0,﹣4),
设直线AC解析式为y=kx+b’,
∴,
∴
∴直线AC解析式为y=x﹣4,
∵P在直线y=﹣x+6上,
∴可设点P(t,﹣t+6),
∵PQ∥y轴,且点Q在y=x﹣4 上,
∴Q(t, t﹣4),
∴d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)=﹣t+10;
(3)过点M作MG⊥PQ于G,
∴∠QGM=90°=∠COA,
∵PQ∥y轴,
∴∠OCA=∠GQM,
∵CQ=AM,
∴AC=QM,
在△OAC与△GMQ中,,[来源:学科网ZXXK]
∴△OAC≌△GMQ,
∴QG=OC=4,GM=OA=8,
过点N作NH⊥PQ于H,过点M作MR⊥NH于点R,
∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°,
∴四边形GHRM是矩形,
∴HR=GM=8,可设GH=RM=k,
∵△MNQ是等腰直角三角形,
∴∠QMN=90°,NQ=NM,
∴∠HNQ+∠HQN=90°,
∴∠HNQ+∠RNM=90°,
∴∠RNM=∠HQN,
∴△HNQ≌△RMN,
∴HN=RM=k,NR=QH=4+k,
∵HR=HN+NR,
∴k+4+k=8,
∴k=2,
∴GH=NH=RM=2,
∴HQ=6,
∵Q(t, t﹣4),
∴N(t+2, t﹣4+6)即 N(t+2, t+2)
∵N在直线AB:y=﹣x+6上,
∴t+2=﹣(t+2)+6,
∴t=2,
∴P(2,),N(4,3),
∴PH=,NH=2,
∴PN==.
知识点:课题学习 选择方案
题型:解答题
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