如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知...
问题详情:
如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:
(1)如图,连接OC,
∵M(4,0),N(0,3),
∴OM=4,ON=3,
∴MN=5,
∴OC=MN=,
∵CD为抛物线对称轴,
∴OD=MD=2,
在Rt△OCD中,由勾股定理可得CD===,
∴PD=PC﹣CD=﹣=1,
∴P(2,﹣1);
(2)∵抛物线的顶点为P(2,﹣1),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x﹣2)2﹣1,
∵抛物线过N(0,3),
∴3=a(0﹣2)2﹣1,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3;
(3)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得0=x2﹣4x+3,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∵ON=3,OM=4,PD=1,
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB,
∴S△QAB=1,
设Q点纵坐标为y,则×2×|y|=1,解得y=1或y=﹣1,
当y=1时,则△QAB为钝角三角形,而△OBN为直角三角形,不合题意,舍去,
当y=﹣1时,可知P点即为所求的Q点,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD=QD,
∴△QAB为等腰直角三角形,
∵ON=OB=3,
∴△OBN为等腰直角三角形,
∴△QAB∽△OBN,
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,﹣1).
知识点:各地中考
题型:综合题
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