如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．

（1）求圆心M的坐标；

（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．

【回答】

解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），

∵点A（4，0），则点M（2，1）；

（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，

设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，

tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，

AC＝，则CD＝＝10，

则点D（0，﹣8），

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；

（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，

将点B坐标代入上式并解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，

过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，

cos∠PEH＝，

解得：PE＝5，

设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），

则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，

解得x＝或2（舍去2），

则点P（，）．

知识点：各地中考

题型：综合题