如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为( )
A.22 B.24 C.10 D.12
【回答】
B【考点】圆的综合题.
【分析】易知直线y=kx﹣3k+4过定点D(3,4),运用勾股定理可求出OD,由条件可求出半径OB,由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题.
【解答】解:对于直线y=kx﹣3k+4,当x=3时,y=4,
故直线y=kx﹣3k+4恒经过点(3,4),记为点D.
过点D作DH⊥x轴于点H,
则有OH=3,DH=4,OD==5.
∵点A(13,0),
∴OA=13,
∴OB=OA=13.
由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,如图所示,
因此运用垂径定理及勾股定理可得:
BC的最小值为2BD=2=2×=2×12=24.
故选:B.
【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识,发现直线恒经过点(3,4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:选择题
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