定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重...

问题详情：

定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.

(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标.

【回答】

解：(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；

(2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），

如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1，），

∴AG=1、PG=，PA===2，

∵tan∠PAB==，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB===4，

∴点B坐标为（4，0），

设y=ax（x﹣4），

将点P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，

则有﹣x2+x=，

解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（3，）；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，

则有﹣x2+x=﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题