如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达...

问题详情：

如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求*：AB平分；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．

【解析】

（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值； （2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，*BC=BD，然后依据SSS可*△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的*质可得到∠CAB=∠BAD； （3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．

【详解】

解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，

得

解得

故抛物线的表达式为y＝．

（2）*：∵AO=3，OC=4， ∴AC==5． 取D（2，0），则AD=AC=5． 由两点间的距离公式可知BD==5． ∵C（0，-4），B（5，-4）， ∴BC=5． ∴BD=BC． 在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC， ∴△ABC≌△ABD， ∴∠CAB=∠BAD， ∴AB平分∠CAO；

（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F． 抛物线的对称轴为x=，则AE=． ∵A（-3，0），B（5，-4）， ∴tan∠EAB=． ∵∠M′AB=90°． ∴tan∠M′AE=2． ∴M′E=2AE=11， ∴M′（，11）． 同理：tan∠MBF=2． 又∵BF=， ∴FM=5， ∴M（，-9）． ∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的*质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题