如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线．动点M，N...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线．动点M，N分别从D、E出发，沿着*线DE与*线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点．则下列结论：①ac=﹣3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变． 其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【回答】

D【考点】二次函数综合题．

【分析】首先*b=0，再根据OC=OB列出等式即可*①正确，由△ADM≌△DEN，AM=DN，∠M=∠N，再根据“8字型”*∠NPK=∠MEK即可解决问题．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，OC⊥AB，

∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，

∴OC是抛物线对称轴，

∴b=0，

∴抛物线解析式为y=ax2+c，

∴点B坐标（，0），

∵tan∠BCO==，

∴c=，

∴c2=，

∵c≠0，

∴ac=﹣，故①正确．

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=AB=AC=AD，DE∥AB，

∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，

∴∠ADM=∠DEN=120°，

在△ADM和△DEN中，

，

∴△ADM≌△DEN，

∴AM=DN，∠M=∠N，故②正确．

设AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，

∴∠MEK=∠NPK，

∵∠MEK=∠CED=60°，

∴∠NPK=60°，

∴∠APN=180°﹣∠NPK=120°，

∴∠APN的大小不变，故③正确．

故选D．

【点评】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和*质、三角形内角和定理、直角三角形中30度角*质等知识，解题的关键是（1）*OC=OB，（2）*△ADM≌△DEN，属于中考常考题型．

知识点：二次函数单元测试

题型：选择题