如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作...
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如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;
(3)分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线,用菱形的*质进行计算;
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,
连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
设线段E′F′=h,则CF′=2h,
∴点E′(2h,h+4)
∵点E′在抛物线上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,
同①的方法得,E(3,),
点E的坐标为(1,),(3,)
(3)①CM为菱形的边,如图2,
在第一象限内取点P′,过点
P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,
交y轴于M′,
∴四边形CM′P′N′是平行四边形,
∵四边形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
设点P′(m,﹣ m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
∵P′N′∥y轴,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.
②CM为菱形的对角线,如图3,
在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,
交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,
∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,
∵四边形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
设点P(n,﹣ n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此种情况不存在.
∴菱形的边长为4﹣4.
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求抛物线解析式,菱形的*质,平行四边形的*质,判定,锐角三角函数,解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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