如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点...

问题详情：

如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG

（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求*：2OB2＝BC•BF；

（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．

【回答】

解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：

如图1，连接CE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACF＝90°，

∵点G是EF的中点，

∴GF＝GE＝GC，

∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OF⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，

∴CG与⊙O相切；

（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，

∴∠OAE＝∠F，

又∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△FBO，

∴＝，即BO•AB＝BC•BF，

∵AB＝2BO，

∴2OB2＝BC•BF；

（3）由（1）知GC＝GE＝GF，

∴∠F＝∠GCF，

∴∠EGC＝2∠F，

又∵∠DCE＝2∠F，

∴∠EGC＝∠DCE，

∵∠DEC＝∠CEG，

∴△ECD∽△EGC，

∴＝，

∵CE＝3，DG＝2.5，

∴＝，

整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，

解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），

故DE＝2．

知识点：相似三角形

题型：综合题