如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作E...

问题详情：

如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．

（1）求*：△HBE∽△ABC；

（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．

【回答】

【解答】解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB．

∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB．

∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∽△ABC．

（2）连接AF．

∵AB是直径，∴∠AFB=90°．

∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴CA2=CF•CB=36，∴CA=6，AB==3，AF==2．

∵=，∴∠EAF=∠EAH．

∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH．

∵AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF=AH=2，设EF=EH=x．在Rt△EHB中，（5﹣x）2=x2+（）2，∴x=2，∴EH=2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和*质、圆周角定理、切线的*质、角平分线的*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．

知识点：各地中考

题型：解答题