如图,已知AB是⊙O的切线,BC为⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC于点G,交...
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如图,已知AB是⊙O的切线,BC为⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F
(1)求*:ED是⊙O的切线;
(2)求*:△CFP∽△CPD;
(3)如果CF=1,CP=2,sinA=,求O到DC的距离.
【回答】
(1)*:连接OD.
∵BC为直径,∴△BDC为直角三角形.
在Rt△ADB中,E为AB中点,
∴BE=DE,
∴∠EBD=∠EDB.
又∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵∠OBD+∠ABD=90°,∴∠ODB+∠EDB=90°.
∴ED是⊙O的切线.
(2)*:∵PF⊥BC,
∴∠FPC=90°﹣∠BCP(直角三角形的两个锐角互余).
∵∠PDC=90°﹣∠PDB(直径所对的圆周角是直角),∠PDB=∠BCP(同弧所对的圆周角相等),
∴∠FPC=∠PDC(等量代换).
又∵∠PCF是公共角,
∴△PCF∽△DCP.
(3)解:过点O作OM⊥CD于点M,
∵△PCF∽△DCP,∴PC2=CF•CD(相似三角形的对应边成比例).
∵CF=1,CP=2,∴CD=4.
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=,
∴=,即=,
∴直径BC=5,∴=,∴MC=2,∴MO=,
∴O到DC的距离为.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题
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