如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB...

问题详情：

如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.

(1)求*：CD是⊙O的切线；

(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；

(3)求*：AF＋2DF＝AB.

【回答】

（1）*：如解图，连接OC.

                   第11题解图

∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，

又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，

∴CO∥AD.

又CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，

根据勾股定理得：AE=10，

∵CO∥AD，

∴△EOC∽△EAD,

 ∴.

设⊙O的半径为r，∴OE=10-r.

∴，

∴r=，

∴BE=10-2r=；

（3）*：如解图，过点C作CG⊥AB于点G.

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，

∴CG=CD，

在Rt△AGC和Rt△ADC中，

∵CG=CD，AC=AC，

∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），

∴AG=AD.

又∵∠BAC=∠CAD，

∴BC=CF，

在Rt△CGB和Rt△CDF中，

∵BC=FC，CG=CD，

∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），

∴GB=DF.

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题