如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．

（1）求*：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，∠D=30°，求图中*影部分的面积．

【回答】

【解答】（1）*：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD=∠E，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，

∴CD是圆O的切线；

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠D=30°，AE=6，

∴AD=2AE=12，

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，

∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，

∴CD===4，

∴S△OCD===8，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°，

∴S扇形OBC=×π×OC2=，

∵S*影=S△COD﹣S扇形OBC

∴S*影=8﹣，

∴*影部分的面积为8﹣．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题