如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C...
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如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求*:AC平分∠FAB;
(2)求*:BC2=CE•CP;
(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.
【回答】
(1)*见解析;(2)*见解析;(3).
【解析】
(1)根据已知先*∠ACF=∠ACE,再根据等角的余角相等即可*得;
(2)只要*△CBE∽△CPB,可得即可解决问题;
(3)作BM⊥PF于M,则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的*质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题;
【详解】(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∵∠BCP=∠BCE,
∴∠ACF=∠ACE,
∵∠AFC=90°,∠AEC=90°,
∴∠FAC=∠EAC,
即AC平分∠FAB;
(2)∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,
∴∠OCP=∠CEB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,
∴∠BCE=∠BCP,
∵CD是直径,
∴∠CBD=∠CBP=90°,
∴△CBE∽△CPB,
∴,
∴BC2=CE•CP;
(3)如图,作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,
设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,
∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,
∴∠MCB=∠PBM,
∵CD是直径,BM⊥PC,
∴∠CMB=∠BMP=90°,
∴△BMC∽△PMB,
∴,
∴BM2=CM•PM=3a2,
∴BM=a,
∴tan∠BCM=,
∴∠BCM=30°,
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°,
∴的长=.
【点睛】本题考查了切线的*质、圆周角定理、相似三角形的判定与*质、解直角三角形的应用等,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与*质定理是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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