如图,AC为⊙O的直径,B为⊙O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,...
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如图,AC为⊙O的直径,B为⊙O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,连接BE.
(1)求*:BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,求图中*影部分的面积.
【回答】
【考点】ME:切线的判定与*质;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接BO,根据△OBC和△BCE都是等腰三角形,即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°,再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°,进而得出BE是⊙O的切线;
(2)在Rt△ABC中,根据∠ACB=30°,BC=3,即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积,进而得到*影部分的面积.
【解答】解:(1)如图所示,连接BO,
∵∠ACB=30°,[
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵DE⊥AC,CB=BD,
∴Rt△DCE中,BE=CD=BC,
∴∠BEC=∠BCE=30°,
∴△BCE中,∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°,
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°,
∴BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,BC=3,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
又∵∠ACB=30°,
∴AB=tan30°×BC=,
∴AC=2AB=2,AO=,
∴*影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣.
【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算,解题时注意:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
知识点:各地中考
题型:综合题
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