如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE相交于点F．

（1）求*：CF为⊙O的切线；   

（2）填空：当∠CAB的度数为________时，四边形ACFD是菱形．   

【回答】

（1）解：*连结OC，如图， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A， ∵∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABD=∠BOC， ∴OC∥BD， ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE， ∴CF为⊙O的切线； （2）30°                    【考点】全等三角形的判定与*质，菱形的判定，切线的判定与*质                【解析】【解答】（2）当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形， 理由：∵∠A=30°， ∴∠COF=60°， ∴∠F=30°， ∴∠A=∠F， ∴AC=CF， 连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BD， ∴AD∥CF， ∴∠DAF=∠F=30°， 在△ACB与△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB， ∴AD=AC， ∴AD=CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ACFD是菱形． 故*为：30°． 【分析】*一条直线是圆的切线的添加辅助线的方法：连半径，*垂直；作垂线，*半径。（1）连结OC，先*∠ABD=∠BOC，得到OC∥BD，根据CE⊥BD，得出OC⊥CE，即可*得结论。 （2）当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形。根据已知易*AC=CF，再*△ACB≌△ADB，得出AD=AC，即可得到AD=CF，AD∥CF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形。即可得出结论。   

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题