如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥...
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如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求*:AH是⊙O的切线;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求*:CD=DH.
【回答】
(1)*见解析;(2);(3)*见解析.
【解析】
(1)连接OA,*△DAB≌△DAE,得到AB=AE,得到OA是△BDE的中位线,根据三角形中位线定理、切线的判定定理*;
(2)利用正弦的定义计算;
(3)*△CDF∽△AOF,根据相似三角形的*质得到CD=CE,根据等腰三角形的*质*.
【详解】
(1)*:连接OA,
由圆周角定理得,∠ACB=∠ADB,
∵∠ADE=∠ACB,
∴∠ADE=∠ADB,
∵BD是直径,
∴∠DAB=∠DAE=90°,
在△DAB和△DAE中,
,
∴△DAB≌△DAE,
∴AB=AE,又∵OB=OD,
∴OA∥DE,又∵AH⊥DE,
∴OA⊥AH,
∴AH是⊙O的切线;
(2)解:由(1)知,∠E=∠DBE,∠DBE=∠ACD,
∴∠E=∠ACD,
∴AE=AC=AB=6.
在Rt△ABD中,AB=6,BD=8,∠ADE=∠ACB,
∴sin∠ADB==,即sin∠ACB=;
(3)*:由(2)知,OA是△BDE的中位线,
∴OA∥DE,OA=DE.
∴△CDF∽△AOF,
∴=,
∴CD=OA=DE,即CD=CE,
∵AC=AE,AH⊥CE,
∴CH=HE=CE,
∴CD=CH,
∴CD=DH.
【点睛】
本题考查的是圆的知识的综合应用,掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和*质定理、三角形中位线定理是解题的关键.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题
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