如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点...
问题详情:
如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF和AD.
(1)求*:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠EAC=60°,求AD的长.
【回答】
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接FO,由F为BC的中点,AO=CO,得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直径,得出CE⊥AE,根据OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论.
(2)*出△AOE是等边三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的*质即可得到结果.
【解答】(1)*:连接CE,如图所示:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠AEC=90°.
∴∠BEC=90°.
∵点F为BC的中点,
∴EF=BF=CF.
∴∠FEC=∠FCE.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE.
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°,
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.
∴EF是⊙O的切线.
(2)解:∵OA=OE,∠EAC=60°,
∴△AOE是等边三角形.
∴∠AOE=60°.
∴∠COD=∠AOE=60°.
∵⊙O的半径为2,
∴OA=OC=2
在Rt△OCD中,∵∠OCD=90°,∠COD=60°,
∴∠ODC=30°.
∴OD=2OC=4,
∴CD=.
在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°,AC=4,CD=.
∴AD==.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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