如图,⊙O的直径AB=4,点C为⊙O上的一个动点,连接OC,过点A作⊙O的切线,与BC的延长线交于点D,点E为...
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如图,⊙O的直径AB=4,点C为⊙O上的一个动点,连接OC,过点A作⊙O的切线,与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点,连接CE.
(1)求*:CE是⊙O的切线;
(2)填空:①当CE= 时,四边形AOCE为正方形;
②当CE= 时,△CDE为等边三角形.
【回答】
(1)*:连接AC、OE,如图(1),
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴△ACD为直角三角形,
又∵E为AD的中点,
∴EA=EC,
在△OCE和△OAE中,
,
∴△OCE≌△OAE(SSS),
∴∠OCE=∠OAE=90°,
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线;
(2)解:①C在线段BD的中点时,四边形AOCE为正方形.理由如下:
当C为边BD的中点,而E为AD的中点,
∴CE为△BAD的中位线,
∴CE∥AB,CE=AB=OA,
∴四边形OAEC为平行四边形,
∵∠OAE=90°,
∴平行四边形OCEA是矩形,
又∵OA=OC,
∴矩形OCEA是正方形,
∴CE=OA=2,
故*为:2;
②连接AC,如图(2),
∵△CDE为等边三角形,
∴∠D=60°,∠ABD=30°,CE=CD,
在Rt△ABC中,AC=AB=2,
在Rt△ACD中,∵tan∠D=,
∴CD===,
∴CE=,
故*为:.
【点评】本题考查了圆的综合题:考查了圆周角定理、全等三角形的判定与*质、切线的判定定理、平行四边形的判定、正方形的判定、等边三角形的*质、三角函数等知识;本题综合*强,有一定难度.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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