如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,...
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如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB. (1)求*:PB是⊙O的切线; (2)求*:E为△PAB的内心; (3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的长.
【回答】
(1)*:连结OB, ∵AC为⊙O的直径, ∴∠ABC=90°, ∵AB⊥PO, ∴PO∥BC ∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC, OB=OC, ∴∠OBC=∠C, ∴∠AOP=∠POB, 在△AOP和△BOP中, , ∴△AOP≌△BOP(SAS), ∴∠OBP=∠OAP, ∵PA为⊙O的切线, ∴∠OAP=90°, ∴∠OBP=90°, ∴PB是⊙O的切线; (2)*:连结AE, ∵PA为⊙O的切线, ∴∠PAE+∠OAE=90°, ∵AD⊥ED, ∴∠EAD+∠AED=90°, ∵OE=OA, ∴∠OAE=∠AED, ∴∠PAE=∠DAE,即EA平分∠PAD, ∵PA、PD为⊙O的切线, ∴PD平分∠APB ∴E为△PAB的内心; (3)解:∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°, ∴∠PAB=∠C, ∴cos∠C=cos∠PAB=, 在Rt△ABC中,cos∠C===, ∴AC=,AO=, ∵△PAO∽△ABC, ∴, ∴PO===5. 【解析】
(1)连结OB,根据圆周角定理得到∠ABC=90°,*△AOP≌△BOP,得到∠OBP=∠OAP,根据切线的判定定理*; (2)连结AE,根据切线的*质定理得到∠PAE+∠OAE=90°,*EA平分∠PAD,根据三角形的内心的概念*即可; (3)根据余弦的定义求出OA,*△PAO∽△ABC,根据相似三角形的*质列出比例式,计算即可. 本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和*质、切线的判定,掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和*质定理是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
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