如图,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D...
问题详情:
如图,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E.
(1)求*:PB是⊙O的切线;
(2)若OC=3,AC=4,求sinE的值.
【回答】
【分析】(1)要*是圆的切线,须*过切点的半径垂直,所以连接OBB,*OB⊥PE即可.
(2)要求sinE,首先应找出直角三角形,然后利用直角三角函数求解即可.而sinE既可放在直角三角形EAP中,也可放在直角三角形EBO中,所以利用相似三角形的*质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】(1)*:连接OB∵PO⊥AB,
∴AC=BC,
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线.
(2)连接BD,则BD∥PO,且BD=2OC=6
在Rt△ACO中,OC=3,AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中,
∠APO=∠APO,
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO=,PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中,
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=,
解得EB=,
PE=,
∴sinE==
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和*质.能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
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