如图,直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,与⊙O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交⊙O于另...
问题详情:
如图,直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,与⊙O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交⊙O于另一点B,且AB=AC. (1)求*:AB是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,求线段BP的长.
【回答】
(1)*:如图,连结OB,则OP=OB, ∴∠OBP=∠OPB=∠CPA, AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC, 而OA⊥l,即∠OAC=90°, ∴∠ACB+∠CPA=90°, 即∠ABP+∠OBP=90°, ∴∠ABO=90°, OB⊥AB, 故AB是⊙O的切线; (2)解:由(1)知:∠ABO=90°, 而OA=5,OB=OP=3, 由勾股定理,得:AB=4, 过O作OD⊥PB于D,则PD=DB, ∵∠OPD=∠CPA,∠ODP=∠CAP=90°, ∴△ODP∽△CAP, ∴, 又∵AC=AB=4,AP=OA-OP=2, ∴, ∴, ∴. 【解析】
(1)连接OB,由AB=AC得∠ABC=∠ACB,由OP=OB得∠OPB=∠OBP,由OA⊥l得∠OAC=90°,则∠ACB+∠APC=90°,而∠APC=∠OPB=∠OBP,所以∠OBP+∠ABC=90°,即∠OBA=90°,于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线; (2)根据勾股定理求得AB=4,PC=2,过O作OD⊥PB于D,则PD=DB,通过*得△ODP∽△CAP,得到,求得PD,即可求得PB. 本题考查了切线的判定和*质,勾股定理的应用研究三角形相似的判定和*质,熟练掌握*质定理是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
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