如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直...

问题详情：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．

（1）求*：PA是⊙O的切线；

（2）*：；

（3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长．

27题图                27题备用图

【回答】

（1）*∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°．

又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；

（2）*：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴．

又，∴，即．

（3）解：在Rt△ADF中，设AD=a，则DF=3a．，AO=OF=3a-4．

∵，即，解得，∴DE=OE-OD=3a-8=．

知识点：各地中考

题型：综合题