如图,是⊙O的直径,E,C是上两点,且,连接,,过点C作交的延长线于点D.(1)判定直线与⊙O的位置关系,并说...
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如图,是⊙O的直径,E,C是上两点,且,连接,,过点C作交的延长线于点D.
(1)判定直线与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求图中*影部分的面积.
【回答】
(1)直线DC与⊙O相切,理由见解析(2)-
【解析】
(1)连接OC,如图,由圆周角的的定理推论得到∠EAC=∠OAC,加上∠ACO=∠OAC,则∠ACO=∠DAC,于是可判断OC∥AD,则根据平行线的*质得到OC⊥CD,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线; (2)连接OE、BC,作CH⊥AB于H,如图,先利用角平分线的*质得到CH=CD=,求出△ACH的面积,再根据三角形全等的判定和*质得出△ADC的面积=△ACHD的面积,再利用S*影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE,即可得出*.
【详解】
*:(1)直线DC与⊙O相切. 理由如下:连接OC,如图,
∵ ∴∠EAC=∠OAC
∵OA=OC, ∴∠ACO=∠OAC, ∴∠ACO=∠DAC, ∴OC∥AD, ∵CD⊥AE, ∴OC⊥CD, ∴DC是⊙O的切线; (2)连接OC、OE、CB,过C作CH⊥AB于H,
∵CH⊥AB,CD⊥AE
∴∠ADC=∠AHC,
∵∠EAC=∠OAC,AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH=,AH=AD,
∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°
∴∠CAH=∠BCH,
又∵∠CHA=∠BHC,
∴△CAH∽△BCH
∴
∴
∴AH=3或1(舍去1)
∴BH= 1
∴S△ACH=
在Rt△CHB中,BH=1,HC=
∴∠BCH=30°=∠CAB
∴∠COB=∠EOC=60°
∴S*影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE=-=-
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定,圆周角定理、全等三角形的判定和*质、相似三角形的判定和*质、平行线的判定和*质、扇形的面积公式及三角形的面积公式,正确作出辅助线是解题的关键,求*影部分面积时要注意转化思想的应用.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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