如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于...
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如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求*:AC平分∠DAB;
(2)求*:△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2,求⊙O 的半径长.
【回答】
(1)*:∵PD为⊙O的切线,
∴OC⊥DP,
∵AD⊥DP,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠DAC,
∴AC平分∠DAB;
(2)*:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=2∠BCE=90°,
∴∠OFE+∠OEF=90°,
而∠OFE=∠CFP,
∴∠CFP+∠OEF=90°,
∵OC⊥PD,
∴∠OCP=90°,即∠OCF+∠PCF=90°,
而∠OCF=∠OEF,
∴∠PCF=∠CFP,
∴△PCF是等腰三角形;
(3)解:连结OE.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=90°,即OE⊥AB,
设⊙O 的半径为r,则OF=6﹣r,
在Rt△EOF中,∵OE2+OF2=EF2,
∴r2+(6﹣r)2=(2)2,
解得,r1=4,r2=2,
当r1=4时,OF=6﹣r=2(符合题意),
当r2=2时,OF=6﹣r=4(不合题意,舍去),
∴⊙O的半径r=4.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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