已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG...
问题详情:
已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求*:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求*:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)△EAD是等腰三角形.*见解析;(3).
【解析】
试题分析:
(1)连接OG,则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°,由OG=OA可得∠AGO=∠OAG,从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG,这样即可得到KE=GE;
(2)设∠FGB=α,由AB是直径可得∠AGB=90°,从而可得∠KGE=90°-α,结合GE=KE可得∠EKG=90°-α,这样在△GKE中可得∠E=2α,由∠FGB=∠ACH可得∠ACH=2α,这样可得∠E=∠ACH,由此即可得到CA∥EF;
(3)如下图2,作NP⊥AC于P,
由(2)可知∠ACH=∠E,由此可得sinE=sin∠ACH=,设AH=3a,可得AC=5a,CH=4a,则tan∠CAH=,由(2)中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC,从而可得CK=AC=5a,由此可得HK=a,tan∠AKH=,AK=a,结合AK=可得a=1,则AC=5;在四边形BGKH中,由∠BHK=∠BKG=90°,可得∠ABG+∠HKG=180°,结合∠AKH+∠GKG=180°,∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH,
在Rt△APN中,由tan∠CAH=,可设PN=12b,AP=9b,由tan∠ACG=tan∠AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP==5,则可得b=,由此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长.
试题解析:
(1)如图1,连接OG.
∵EF切⊙O于G,
∴OG⊥EF,
∴∠AGO+∠AGE=90°,
∵CD⊥AB于H,
∴∠AHD=90°,
∴∠OAG=∠AKH=90°,
∵OA=OG,
∴∠AGO=∠OAG,
∴∠AGE=∠AKH,
∵∠EKG=∠AKH,
∴∠EKG=∠AGE,
∴KE=GE.
(2)设∠FGB=α,
∵AB是直径,
∴∠AGB=90°,
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB=∠ACH,
∴∠ACH=2α,
∴∠ACH=∠E,
∴CA∥FE.
(3)作NP⊥AC于P.
∵∠ACH=∠E,
∴sin∠E=sin∠ACH=,设AH=3a,AC=5a,
则CH=,tan∠CAH=,
∵CA∥FE,
∴∠CAK=∠AGE,
∵∠AGE=∠AKH,
∴∠CAK=∠AKH,
∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK=,
∵AK=,
∴,
∴a=1.AC=5,
∵∠BHD=∠AGB=90°,
∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四边形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,
∵∠AKH+∠HKG=180°,
∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,
∵NP⊥AC于P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在Rt△APN中,tan∠CAH=,设PN=12b,则AP=9b,
在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,
∵AC=5,
∴13b=5,
∴b=,
∴CN===.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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