如图,AB是⊙O的直径,点P是BA延长线上一点,过点P作⊙O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于E,连...
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如图,AB是⊙O的直径,点P是BA延长线上一点,过点P作⊙O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于E,连接CO,CB.
(1)求*:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=10,tanB=,求PA的长;
(3)试探究线段AB,OE,OP之间的数量关系,并说明理由.
【回答】
解:(1)*:连接OD,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCO=90°,即∠PCD+∠OCD=90°,
∵OA⊥CD
∴CE=DE
∴PC=PD
∴∠PDC=∠PCD
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠PDC+∠ODC=∠PCD+∠OCD=90°,
∴PD是⊙O的切线.
(2)如图2,连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴tanB==
设AC=m,BC=2m,则由勾股定理得:m2+(2m)2=102,解得:m=,
AC=2,BC=4,
∵CE×AB=AC×BC,即10CE=2×4,
∴CE=4,BE=8,AE=2
在Rt△OCE中,OE=OA﹣AE=3,OC=5,
∴CE===4,
∵
∴OP×OE=OC×OC,即3OP=5×5,
∴OP=,PA=OP﹣OA=﹣5=.
(3)AB2=4OE•OP
如图2,∵PC切⊙O于C,
∴∠OCP=∠OEC=90°,
∴△OCE∽△OPC
∴,即OC2=OE•OP
∵OC=AB
∴
即AB2=4OE•OP.
知识点:各地中考
题型:解答题
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