如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是　   　．（写出所有正确结论的序号）

①AM平分∠CAB；

②AM2＝AC•AB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；

④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．

【回答】

①②④【解答】解：连接OM，

∵PE为⊙O的切线，

∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴OM∥AC，

∴∠CAM＝∠AMO，

∵OA＝OM，

∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，

∴△ACM∽△AMB，

∴，

∴AM2＝AC•AB，故②正确；

∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴的长为，故③错误；

∵BD⊥PC，AC⊥PC，

∴BD∥AC，

∴，

∴PB＝，

∴，BD＝，

∴PB＝OB＝OA，

∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，

∴∠OPM＝30°，

∴PM＝2，

∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．

知识点：各地中考

题型：填空题