如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①C...
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如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED•BC=BO•BE.其中正确结论的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【回答】
A 【解析】
解:连结DO. ∵AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线, ∴∠CBO=90°, ∵AD∥OC, ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD. 又∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO, ∴∠COD=∠COB. 在△COD和△COB中,, ∴△COD≌△COB(SAS), ∴∠CDO=∠CBO=90°. 又∵点D在⊙O上, ∴CD是⊙O的切线;故①正确, ∵△COD≌△COB, ∴CD=CB, ∵OD=OB, ∴CO垂直平分DB, 即CO⊥DB,故②正确; ∵AB为⊙O的直径,DC为⊙O的切线, ∴∠EDO=∠ADB=90°, ∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°, ∴∠ADE=∠BDO, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠EDA=∠DBE, ∵∠E=∠E, ∴△EDA∽△EBD,故③正确; ∵∠EDO=∠EBC=90°, ∠E=∠E, ∴△EOD∽△ECB, ∴, ∵OD=OB, ∴ED•BC=BO•BE,故④正确; 故选:A. 由切线的*质得∠CBO=90°,首先连接OD,易*得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等,求得∠CDO=90°,即可*得直线CD是⊙O的切线,根据全等三角形的*质得到CD=CB,根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB,故②正确;根据余角的*质得到∠ADE=∠BDO,等量代换得到∠EDA=∠DBE,根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD,故③正确;根据相似三角形的*质得到,于是得到ED•BC=BO•BE,故④正确. 本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与*质以及相似三角形的判定与*质,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用是解答此题的关键.
知识点:各地中考
题型:选择题
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