如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求*：△DA...

问题详情：

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．

（1）求*：△DAC∽△DBA；

（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求*：CE=AD；

（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．

【回答】

解：（1）∵AB是⊙O直径，

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∵AD是⊙O的切线，

∴∠BAD=90°，

∴∠ACD=∠DAB=90°，

∵∠D=∠D，

∴△DAC∽△DBA；

（2）∵EA，EC是⊙O的切线，

∴AE=CE（切线长定理），

∴∠DAC=∠ECA，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，

∴∠D=∠DCE，

∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，

∴CE=AD；

（3）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，

∴tan∠ABD==2，

过点G作GH⊥BD于H，

∴tan∠ABD==2，

∴GH=2BH，

∵点F是直径AB下方半圆的中点，

∴∠BCF=45°，

∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°，

∴CH=GH=2BH，

∴BC=BH+CH=3BH，

在Rt△ABC中，tan∠ABC==2，

∴AC=2BC，

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，

∴4BC2+BC2=9，

∴BC=，

∴3BH=，

∴BH=，

∴GH=2BH=，

在Rt△CHG中，∠BCF=45°，

∴CG=GH=．

知识点：各地中考

题型：解答题