如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点F, 连接DF. ...
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如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点F, 连接DF.
(1)求*:DF是⊙O的切线;
(2)连接BC,若∠BCF=30°,BF=2,求CD的长.
【回答】
解:(1)*:连接OD,如图,
∵CF是⊙O的切线,∴∠OCF=90°,
∴∠OCD+∠DCF=90°,∵直径AB⊥弦CD,
∴CE=ED,即OF为CD的垂直平分线,∴CF=DF,
∴∠CDF=∠DCF,∵OC=OD,∴∠CDO=∠OCD,
∴∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90°,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;
(2)∵∠OCF=90°,∠BCF=30°,∴∠OCB=60°,∵OC=OB,∴△OCB为等边
三角形,∴∠COB=60°,∴∠CFO=30°,∴FO=2OC=2OB,∴FB=OB=OC=2,
在Rt△OCE中,∵∠COE=60°,∴OE=OC=1,∴CE=,
∴CD=2CE=2.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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