如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.(1)求*:...
问题详情:
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.
(1)求*:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.
【回答】
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与*质.
【分析】(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的*质可以*∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可*直线CD与⊙O相切于C点;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的*质即可解决问题.
【解答】(1)*:连接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C;
(2)解:连接BC,则∠ACB=90°.
∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∴AC2=AD•AB,
∵⊙O的半径为3,AD=4,
∴AB=6,
∴AC=2.
【点评】此题主要考查了切线的*质与判定,解题时 首先利用切线的判定*切线,然后利用切线的想这已知条件*三角形相似即可解决问题.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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