已知为⊙O的直径且长为，为⊙O上异于A，B的点，若与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形的顶角...

问题详情：

已知为⊙O的直径且长为，为⊙O上异于A，B的点，若与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形的顶角为120度，则；②若为正三角形，则；③若等腰三角形的对称轴经过点D，则；④无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上，其中正确结论的序号为_________．

【回答】

②③④

【解析】

①过点O作OE⊥AC，垂足为E， 求出∠CAD=30°，得到CD=AC，再说明OE=r，利用∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断；②过点A作AE⊥OC，垂足为E，*四边形AECD为矩形，即可判断；③画出图形，*四边形AOCD为矩形，即可判断；④过点C作CE⊥AO，垂足为E，*△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断.

【详解】

解：①∵∠AOC=120°，

∴∠CAO=∠ACO=30°，

∵CD和圆O相切，AD⊥CD，

∴∠OCD=90°，AD∥CO，

∴∠ACD=60°，∠CAD=30°，

∴CD=AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，

则CE=AE=AC=CD，

而OE=OC=r，∠OCA≠∠COE，

∴CE≠OE，

∴CD≠r，故①错误；

②若△AOC为正三角形，

∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r，

∴∠OAE=30°，

∴OE=AO，AE=AO=r，

过点A作AE⊥OC，垂足为E，

∴四边形AECD为矩形，

∴CD=AE=r，故②正确；

③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，

∴AD=CD，而∠ADC=90°，

∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°，

∴∠ACO=∠CAO=45°

∴∠DAO=90°，

∴四边形AOCD为矩形，

∴CD=AO=r，故③正确；

④过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE，

∵OC⊥CD，AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠CAD=∠OAC，

∴CD=CE，

在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=AC，

∴△ADC≌△AEC（HL），

∴AD=AE，

∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，

即点D一定落在直径上，故④正确.

故正确的序号为：②③④，

故*为：②③④.

【点睛】

本题考查了折叠的*质，等边三角形的*质，等腰三角形的*质，平行线的*质，切线的*质，垂径定理，知识点较多，多为一些*质定理，解题时要逐一分析，利用*质定理进行推导.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：填空题