如图,四边形ABCD为菱形,AB=BD,点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上,连接BG并延长交AD于点F,连...
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如图,四边形ABCD为菱形,AB=BD,点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上,连接BG并延长交AD于点F,连接DG并延长交AB于点E,BD与CG交于点H,连接FH,下列结论:
①AE=DF;②FH∥AB;③△DGH∽△BGE;④当CG为⊙O的直径时,DF=AF.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
D【考点】圆的综合题;全等三角形的*质;等边三角形的*质.
【专题】压轴题.
【分析】①由四边形ABCD是菱形,AB=BD,得出△ABD和△BCD是等边三角形,再由B、C、D、G四个点在同一个圆上,得出∠ADE=∠DBF,由△ADE≌△DBF,得出AE=DF,
②利用内错角相等∠FBA=∠HFB,求*FH∥AB,
③利用∠DGH=∠EGB和∠EDB=∠FBA,求*△DGH∽△BGE,
④利用CG为⊙O的直径及B、C、D、G四个点共圆,求出∠ABF=120°﹣90°=30°,再利用等腰三角形的*质求得DF=AF.
【解答】解:①∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=DC=AD,
又∵AB=BD,
∴△ABD和△BCD是等边三角形,
∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°,
又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上,
∴∠DCH=∠DBF,∠GDH=∠BCH,
∴∠ADE=∠ADB﹣∠GDH=60°﹣∠EDB,∠DCH=∠BCD﹣∠BCH=60°﹣∠BCH,
∴∠ADE=∠DCH,
∴∠ADE=∠DBF,
在△ADE和△DBF中,
∴△ADE≌△DBF(ASA)
∴AE=DF
故①正确,
②由①中*得∠ADE=∠DBF,
∴∠EDB=∠FBA,
∵B、C、D、G四个点在同一个圆上,∠BDC=60°,∠DBC=60°,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,
∴∠BGE=180°﹣∠BGC﹣∠DGC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠FGD=60°,
∴∠FGH=120°,
又∵∠ADB=60°,
∴F、G、H、D四个点在同一个圆上,
∴∠EDB=∠HFB,
∴∠FBA=∠HFB,
∴FH∥AB,
故②正确,
③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上,∠DBC=60°,
∴∠DGH=∠DBC=60°,
∵∠EGB=60°,
∴∠DGH=∠EGB,
由①中*得∠ADE=∠DBF,
∴∠EDB=∠FBA,
∴△DGH∽△BGE,
故③正确,
④如下图
∵CG为⊙O的直径,点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上,
∴∠GBC=∠GDC=90°,
∴∠ABF=120°﹣90°=30°,
∵∠A=60°,
∴∠AFB=90°,
∵AB=BD,
∴DF=AF,
故④正确,
正确的有①②③④;
故选:D.
【点评】此题综合考查了圆及菱形的*质,等边三角形的判定与*质,全等三角形的判定和*质,运用四点共圆找出相等的角是解题的关键.解题时注意各知识点的融会贯通.
知识点:相似三角形
题型:选择题
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