如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF...
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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF.
(1)求*:∠BAC=2∠DAC;
(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.
【回答】
(1)见解析;(2) tan∠BAD=.
【解析】
(1)根据等腰三角形的*质得出∠ABC=∠ACB,根据圆心角、弧、弦的关系得到=,即可得到∠ABC=∠ADB,根据三角形内角和定理得到∠ABC=(180°−∠BAC)=90°−∠BAC,∠ADB=90°−∠CAD,从而得到∠BAC=∠CAD,即可*得结论;
(2)易*得BC=CF=4,即可*得AC垂直平分BF,*得AB=AF=10,根据勾股定理求得AE、CE、BE,根据相交弦定理求得DE,即可求得BD,然后根据三角形面积公式求得DH,进而求得AH,解直角三角形求得tan∠BAD的值.
【详解】
解:(1)∵AB=AC,
∴=,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ADB,∠ABC=(180°−∠BAC)=90°−∠BAC,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°−∠DAC,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=2∠DAC;
(2)∵DF=DC,
∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,
∴CB=CF,
又BD⊥AC,
∴AC是线段BF的中垂线,AB= AF=10, AC=10.
又BC=4,
设AE=x, CE=10-x,
AB2-AE2=BC2-CE2, 100-x2=80-(10-x)2, x=6
∴AE=6,BE=8,CE=4,
∴DE===3,
∴BD=BE+DE=3+8=11,
作DH⊥AB,垂足为H,
∵AB•DH=BD•AE,
∴DH=,
∴BH=,
∴AH=AB−BH=10−,
∴tan∠BAD===.
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,圆心角、弧、弦的关系,相交弦定理,等腰三角形的判定和*质等知识,解题的关键是熟练掌握并灵活运用*质定理,属于中考压轴题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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