如图,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,DE⊥AC,垂足为点F,连接BF,下列四个结论:①△CEF∽△ACD...
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如图,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,DE⊥AC,垂足为点F,连接BF,下列四个结论:①△CEF∽△ACD;② =2;③sin∠CAD=;④AB=BF.其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号).
【回答】
①②④
【考点】相似三角形的判定与*质;矩形的*质;解直角三角形.
【分析】①正确.四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB.
②正确由AE=AD=BC,又AD∥BC,所以==.
③错误.设CF=a,AF=2a,由DF2=AF•CF=2a2,得DF=a,AD==a,可得sinCAD===.
④正确.连接AE,由∠ABE+∠AFE=90°,推出A、B、E、F四点共圆,推出∠AFB=∠AEB,由△ABE≌△CDE,推出∠AEB=∠CED,由∠BAF+∠BEF=180°,∠BEF+∠CED=180°,推出∠BAF=∠CED,推出∠BAF=∠BFA,即可*.
【解答】解:过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=90°,AD=BC,BE⊥AC于点F,
∴∠DAC=∠ECF,∠ADC=∠CFE=90°,
∴△CEF∽△ADC,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△CEF∽△ADF,
∴=,
∵CE=BC=AD,
∴==2,
∴AF=2CE,故②正确,
设CF=a,AF=2a,由DF2=AF•CF=2a2,得DF=a,AD==a
∴sinCAD===,故③错误.
连接AE,∵∠ABE+∠AFE=90°,
∴A、B、E、F四点共圆,
∴∠AFB=∠AEB,
∵AB=CD,BE=EC,∠CDE,
∴△ABE≌△CDE,
∴∠AEB=∠CED,
∵∠BAF+∠BEF=180°,∠BEF+∠CED=180°,
∴∠BAF=∠CED,
∴∠BAF=∠BFA,
∴BA=BF,故④正确.
故*为①②④.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和*质,矩形的*质,全等三角形的判定和*质、四点共圆等知识,正确的作出辅助线是解题的关键,学会利用此时解决问题,属于中考常考题型.
知识点:相似三角形
题型:填空题
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