如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延长DC至F点,使CF=CD,连...
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如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延长DC至F点,使CF=CD,连接AF.
(1)判断直线AF与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=10,tan∠CAE=,求AE的长.
【回答】
解:(1)直线AF是⊙O的切线,理由是:连接AC,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∵CF=CD,
∴∠CAF=∠EAC,
∵AC=CE,
∴∠E=∠EAC,
∵∠B=∠E,
∴∠B=∠FAC,
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠FAC+∠BAC=90°,
∴OA⊥AF,
又∵点A在⊙O上,
∴直线AF是⊙O的切线;
(2)过点C作CM⊥AE,
∵tan∠CAE=,
∴=,
∵AC=10,
∴设CM=3x,则AM=4x,
在Rt△ACM中,根据勾股定理,CM2+AM2=AC2,
∴(3x)2+(4x)2=100,
解得x=2,
∴AM=8,
∵AC=CE,
∴AE=2AE=2×8=16.
知识点:各地中考
题型:解答题
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