如图,AB是⊙O的直径,点C为的中点,CF为⊙O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,...
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如图,AB是⊙O的直径,点C为的中点,CF为⊙O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF. (1)求*:△BFG≌△CDG; (2)若AD=BE=2,求BF的长.
【回答】
*:(1)∵C是的中点, ∴, ∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB, ∴, ∴, ∴CD=BF, 在△BFG和△CDG中, ∵, ∴△BFG≌△CDG(AAS); (2)如图,过C作CH⊥AD于H,连接AC、BC, ∵, ∴∠HAC=∠BAC, ∵CE⊥AB, ∴CH=CE, ∵AC=AC, ∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL), ∴AE=AH, ∵CH=CE,CD=CB, ∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL), ∴DH=BE=2, ∴AE=AH=2+2=4, ∴AB=4+2=6, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BEC=90°, ∵∠EBC=∠ABC, ∴△BEC∽△BCA, ∴, ∴BC2=AB•BE=6×2=12, ∴BF=BC=2. 【解析】
(1)根据AAS*:△BFG≌△CDG; (2)如图,作辅助线,构建角平分线和全等三角形,*Rt△AHC≌Rt△AEC(HL),得AE=AH,再*Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),得DH=BE=2,计算AE和AB的长,*△BEC∽△BCA,列比例式可得BC的长,就是BF的长. 此题考查了相似三角形的判定与*质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的*质和判定以及勾股定理.第二问有难度,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
知识点:各地中考
题型:解答题
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