【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC...
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【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
【回答】
解:(1)思路一、如图1,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=2,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=2,
∵AP=1,
∴AP2+PP'2=1+8=9,
∵AP'2=32=9,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;
思路二、同思路一的方法;
(2)如图2,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=1,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=,
∵AP=3,
∴AP2+PP'2=9+2=11,
∵AP'2=()2=11,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的*质,旋转的*质,直角三角形的*质和判定,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题
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