(1)已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位...
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(1)已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1),设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中*影部分)的面积;
【实际运用】:
(2)如图2,点P是等腰Rt△ABC内一点,AB=BC,连接PA,PB,PC.若PA=2,PB=4,PC=6,求∠APB的大小;
【拓展延伸】:
(3)如图3,点P是等边△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,则△APC的面积是 (直接填*)
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时*影部分面积=扇形BAC的面积﹣扇形BPP'的面积,根据旋转的*质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出*影部分的面积.
(2)连结PP′,求出△PBP′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的*质可得PP′=4,∠BP′P=45°,再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P=90°,然后计算即可得解;
(3)根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积,然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解,同理求出△ABP和△BPC的面积的和,△APC和△BPC的面积的和,从而求出△ABC的面积,然后根据△BPC的面积=△ABC的面积﹣△APB与△APC的面积的和计算即可得解.
【解答】解:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,
∴△PAB≌△P'CB,
∴S△PAB=S△P'CB,
S*影=S扇形BAC﹣S扇形BPP′=(a2﹣b2);
(2)如图2,连结PP′.
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°,与△P′CB重合,
∴△PAB≌△P′CB,∠PBP′=90°,
∴BP=BP′,∠APB=∠CP′B,AP=CP′=2,
∴△PBP′是等腰直角三角形,
∴PP′=PB=4,∠BP′P=45°.
在△CPP′中,∵PP′=4,CP′=2,PC=6,
∴PP′2+CP′2=PC2,
∴△CP′P是直角三角形,∠CP′P=90°,
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°;
(3)如图3①,将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC,连结PP1,
∴△APB≌△AP1C,
∴AP=AP1,∠PAP1=60°,CP1=BP=4,
∴△PAP1是等边三角形,
∴PP1=AP=3,
∵CP=5,CP1=4,PP1=3,
∴PP12+CP12=CP2,
∴△CP1P是直角三角形,∠CP1P=90°,
∴S△APP1=×3×=,S△PP1C=×3×4=6,
∴S四边形APCP1=S△APP1+S△PP1C=+6;
∵△APB≌△AP1C,
∴S△ABP+S△APC=S四边形APCP1=+6;
如图3②,同理可求:△ABP和△BPC的面积的和=×4×+×3×4=4+6,
△APC和△BPC的面积的和=×5×+×3×4=+6,
∴△ABC的面积=(+6+4+6++6)=+9,
∴△APC的面积=△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和=(+9)﹣(4+6)=+3.
故*为+3.
【点评】本题考查了旋转的*质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与*质,三角形的面积,其中(3)较为复杂,求出△ABC的面积是解题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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