已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一...
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已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△AD'E′,连接BD′、CE′,如图1.
(1)求*:BD′=CE';
(2)如图2,当α=60°时,设AB与D′E′交于点F,求的值.
【回答】
(1)详见解析;(2).
【分析】
(1)首先依据旋转的*质和中点的定义*AD′=AE′,然后再利用SAS*△BD′A≌△CE′A,最后,依据全等三角形的*质进行*即可;
(2)连接DD′,先*△ADD′为等边三角形,然后再*△△ABD′为直角三角形,接下来,再*△BFD′∽△AFE′,最后,依据相似三角形的*质求解即可.
【详解】
(1)*:∵AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,
∴AD=BD=AE=EC.
由旋转的*质可知:∠DAD′=∠EAE′=α,AD′=AD,AE′=AE.
∴AD′=AE′,
∴△BD′A≌△CE′A,
∴BD′=CE′.
(2)连接DD′.
∵∠DAD′=60°,AD=AD′,
∴△ADD′是等边三角形.
∴∠ADD′=∠AD′D=60°,DD′=DA=DB.
∴∠DBD′=∠DD′B=30°,
∴∠BD′A=90°.
∵∠D′AE′=90°,
∴∠BAE′=30°,
∴∠BAE′=∠ABD′,
又∵∠BFD′=∠AFE′,
∴△BFD′∽△AFE′,
∴.
∵在Rt△ABD′中,tan∠BAD′=,
∴.
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的判定和*质、相似三角形的*质和判定、旋转的*质,发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键.
知识点:图形的旋转
题型:解答题
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