如图,在平面直角坐标系中A(,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连接PO、PA、PB,将△ABP绕着...

问题详情：

如图,在平面直角坐标系中A(,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连接PO、PA、PB,将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,连接PP′. (Ⅰ)求点B′的坐标; (Ⅱ)当△OPA与△APB满足什么条件时,PO＋PA＋PB的值最小,并求出此最小值; (Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.

【回答】

解:(Ⅰ)∵A(,0),B(0,1), ∴AB=2,∠BAO=30°, ∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′, ∴AB′=2,∠B′AO=90°, ∴B′(,2); (Ⅱ)由旋转可得,△APP′是等边三角形, ∴PP′=PA, 又∵P′B′=PB,∴PO＋PA＋PB=PO＋PP′＋P′B′, ∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,PO＋PA＋PB的值最小, ∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时,PO＋PA＋PB的值最小, 此时,PO＋PA＋PB=OB′==; (Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″,则∠BOB″=60°,OB″=OB=1 ∴点B″的坐标为(－,), 由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四点共线, ∴点P为OB′与AB″的交点, 根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=－x＋, 根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=x, 联立方程组,解得P(,).