在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时...
问题详情:
在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图1,当α=60°时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ° .
(2)类比探究
如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.
【回答】
【分析】(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.*△CAP≌△BAD(SAS),即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.*△DAB∽△PAC,即可解决问题.
(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.*AD=DC即可解决问题.
②如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可*:DA=DC解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.
∵∠PAD=∠CAB=60°,
∴∠CAP=∠BAD,
∵CA=BA,PA=DA,
∴△CAP≌△BAD(SAS),
∴PC=BD,∠ACP=∠ABD,
∵∠AOC=∠BOE,
∴∠BEO=∠CAO=60°,
∴=1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°,
故*为1,60°.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
∵∠PAD=∠CAB=45°,
∴∠PAC=∠DAB,
∵==,
∴△DAB∽△PAC,
∴∠PCA=∠DBA,==,
∵∠EOC=∠AOB,
∴∠CEO=∠OABB=45°,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°.
(3)如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
∵CE=EA,CF=FB,
∴EF∥AB,
∴∠EFC=∠ABC=45°,
∵∠PAO=45°,
∴∠PAO=∠OFH,
∵∠POA=∠FOH,
∴∠H=∠APO,
∵∠APC=90°,EA=EC,
∴PE=EA=EC,
∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,
∴BH=BA,
∵∠ADP=∠BDC=45°,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,
∴∠DBA=∠DBC=22.5°,
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B四点共圆,
∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,
∴∠DAC=∠DCA=22.5°,
∴DA=DC,设AD=a,则DC=AD=a,PD=a,
∴==2﹣.
如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可*:DA=DC,设AD=a,则CD=AD=a,PD=a,
∴PC=a﹣a,
∴==2+.
【点评】本题属于相似形综合题,考查了旋转变换,等边三角形的*质,等腰直角三角形的*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题
-
________manyAmericansbelievethere'sstillalottobedone,th...
问题详情:________manyAmericansbelievethere'sstillalottobedone,thatdoesn'tweakentheirsenseofObama'shistoricachievement. A.While B.Nowthat C.Aslongas ...
-
早春二月的某一天,A市的平均气温为-5℃,B市的平均气温为3℃,则当天B比A市的平均气温高
问题详情:早春二月的某一天,A市的平均气温为-5℃,B市的平均气温为3℃,则当天B比A市的平均气温高____________℃.【回答】8提示:3-(-5)=8.知识点:有理数的加减法题型:填空题...
-
右图是*、乙的溶解度曲线,下列说法不正确的是 A.t1℃时,乙的溶解度大于*的溶解度B.t2℃时,*、乙的饱和...
问题详情:右图是*、乙的溶解度曲线,下列说法不正确的是 A.t1℃时,乙的溶解度大于*的溶解度B.t2℃时,*、乙的饱和溶液中溶质的质量分数相等C.降低温度能使接近饱和的*溶液变为饱和溶液D.t3℃时,75g*的饱和溶液中加入50g水,可以得到质量分数为25%的溶液【回答】D知识点:溶...
-
阅读下面唐诗,完成①―③题。(10分)书边事。张乔调角断清秋,征人倚戍楼。春风对青冢,白日落梁州②。大漠无兵阻...
问题详情:阅读下面唐诗,完成①―③题。(10分)书边事。张乔调角断清秋,征人倚戍楼。春风对青冢,白日落梁州②。大漠无兵阻,穷边有客游。蕃情似此水,长愿向南流。注释①:唐朝自肃宗以后,河西、陇右一带长期为吐蕃所占。此后,因民众起义及吐蕃将领降唐,其地又全归唐朝所有。本...
相关文章
- 如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P'...
- 如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′A...
- 在,,.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,...
- 边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转...
- 已知∠AOB=120°,点P为*线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕...
- 如图,在等边△ABC中,点O在AC上,且AO=3,CO=6,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时...
- 已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.(1)求*:PB=...
- 如图所示,点P是正方形ABCD内的一点,连接AP,BP,CP,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位...
- 如图,P是正△ABC内的一点,且PA=1,若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P′AC,则∠PAP′的度数为
- 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且∠PAC+∠PCA=,连接PB,试探究PA、P...