在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且∠PAC+∠PCA=,连接PB,试探究PA、P...
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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P是△ABC内一点,且∠PAC+∠PCA=,连接PB,试探究PA、PB、PC满足的等量关系.
(1)当α=60°时,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′,连接PP′,如图1所示.由△ABP≌△ACP′可以*得△APP′是等边三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度,进而得到△CPP′是直角三角形,这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ;
(2)如图2,当α=120°时,参考(1)中的方法,探究PA、PB、PC满足的等量关系,并给出*;
(3)PA、PB、PC满足的等量关系为 .
【回答】
解:(1)∵△ABP≌△ACP′,
∴AP=AP′,
由旋转变换的*质可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,
∴△PAP′为等边三角形,
∴∠APP′=60°,
∵∠PAC+∠PCA==30°,
∴∠APC=150°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∴PA2+PC2=PB2,
故*为:150,PA2+PC2=PB2;
(2)如图2,作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′,连接PP′,
作AD⊥PP′于D,
由旋转变换的*质可知,∠PAP′=120°,P′C=PB,
∴∠APP′=30°,
∵∵∠PAC+∠PCA==60°,
∴∠APC=120°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=30°,
∴PD=PA,
∴PP′=PA,
∴3PA2+PC2=PB2;
(3)如图2,与(2)的方法类似,
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′,连接PP′,
作AD⊥PP′于D,
由旋转变换的*质可知,∠PAP′=α,P′C=PB,
∴∠APP′=90°﹣,
∵∵∠PAC+∠PCA=,
∴∠APC=180°﹣,
∴∠P′PC=(180°﹣)﹣(90°﹣)=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=90°﹣,
∴PD=PA•cos(90°﹣)=PA•sin,
∴PP′=2PA•sin,
∴4PA2sin2+PC2=PB2,
故*为:4PA2sin2+PC2=PB2.
知识点:勾股定理
题型:综合题
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