如图,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是*线B...
问题详情:
如图,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是*线BD,*线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.
(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.
①如图1,当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;
②如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否成立,并说明理由;
(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).
【回答】
(1)①DE=AQ,DE∥AQ;② E∥AQ,DE=AQ,理由见解析;(2)AQ=2BP•sinα.
【分析】
(1)①先判断出△ABC是等边三角形,进而判断出∠CBP=∠CAQ,即可判断出△BPC≌△AQC,再判断出△PCQ是等边三角形,进而得出CE=QE,即可得出结论;
②同①的方法即可得出结论;
(2)先判断出,∠PAQ=90°﹣∠ACQ,∠BAP=90°﹣∠ACQ,进而得出∠BCP=∠ACQ,即可判断出进而判断出△BPC∽△AQC,最后用锐角三角函数即可得出结论.
【详解】
解:(1)①DE=AQ,DE∥AQ,
理由:如图1,连接PC,PQ,
在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC,
∵AB=BC,BD⊥AC,
∴AD=CD,∠ABD=∠CBD=∠BAC,
∵∠CAF=∠ABC,
∴∠CBP=∠CAQ,
在△BPC和△AQC中,,
∴△BPC≌△AQC(SAS),
∴PC=QC,∠BPC=∠ACQ,
∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°,
∴△PCQ是等边三角形,
∵PE⊥CQ,
∴CE=QE,
∵AD=CD,
∴DE=AQ,DE∥AQ;
②DE∥AQ,DE=AQ,
理由:如图2,连接PQ,PC,
同①的方法得出DE∥AQ,DE=AQ;
(2)AQ=2BP•sinα,
理由:连接PQ,PC,
要使DE=AQ,DE∥AQ,
∵AD=CD,
∴CE=QE,
∵PE⊥CQ,
∴PQ=PC,
易知,PA=PC,
∴PA=PE=PC
∴以点P为圆心,PA为半径的圆必过A,Q,C,
∴∠APQ=2∠ACQ,
∵PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA=(180°﹣∠APQ)=90°﹣∠ACQ,
∵∠CAF=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠BAQ=90°,
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ,
易知,∠BCP=∠BAP,
∴∠BCP=∠ACQ,
∵∠CBP=∠CAQ,
∴△BPC∽△AQC,
∴,
在Rt△BCD中,sinα=,
∴=2×=2sinα,
∴AQ=2BP•sinα.
【点睛】
本题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的判定和*质,等腰三角形的*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质,锐角三角函数,判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键.
知识点:等腰三角形
题型:解答题
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