如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC...
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如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF. (1)求*:BF是⊙O的切线; (2)若⊙O的直径为3,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
【回答】
(1)*:连接AE, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC, ∴2∠1=∠CAB. ∵∠BAC=2∠CBF, ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径, ∴直线BF是⊙O的切线; (2)解:过点C作CH⊥BF于H. ∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF, ∴sin∠1=, ∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=3, ∴BE=AB•sin∠1=3×=, ∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴BC=2BE=2, ∵sin∠CBF==, ∴CH=2, ∵CH∥AB, ∴=,即=, ∴CF=6, ∴AF=AC+CF=9, ∴BF==6. 【解析】
(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而*∠ABF=90°. (2)解直角三角形即可得到结论. 本题考查了圆的综合题:切线的判定与*质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点.
知识点:各地中考
题型:解答题
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