如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E，P为CB延长线上一点，PB...

问题详情：

如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E，P为CB延长线上一点，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．

（1）求*：PA与⊙O相切；

（2）求sin∠BAP的值；

（3）求AD•AE的值．

【回答】

【解析】（1）*：连接OA，如图1所示：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP，

∴∠PAB＝∠C，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝∠PAB，

∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°，

∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°，

∴AP⊥OA，

∴PA与⊙O相切；

（2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C，

∴△PAB∽△PCA，

∴

∵∠CAB＝90°，

∴

∴sin∠BAP＝sin∠C＝；

（3）解：连接CE，如图2所示：

∵PA与⊙O相切，

∴PA2＝PB×PC，即102＝5×PC，

∴PC＝20，

∴BC＝PC﹣PB＝15，

∵

∴，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠E＝∠ABD，

∴△ACE∽△ADB，

∴

∴

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题