如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线...
问题详情:
如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
【回答】
(1)AC=5,AD=5;(2)直线PC与⊙O相切
【分析】
(1)、连接BD,根据AB为直径,则∠ACB=∠ADB=90°,根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度,根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形,从而得出AD的长度;(2)、连接OC,根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA,根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC,然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB,从而得出∠PCB=∠ACO,根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°,从而说明切线.
【详解】
解:(1)、①如图,连接BD, ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°,
在RT△ABC中,AC=
②∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm;
(2)、直线PC与⊙O相切,
理由:连接OC, ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°,
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°, OC⊥PC,
∴直线PC与⊙O相切.
考点:(1)、勾股定理;(2)、直线与圆的位置关系.
知识点:勾股定理
题型:解答题
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