在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作...
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在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF
(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【回答】
(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为或.
【解析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,*△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知*△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可*得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的*质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠FEK=,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣,
∴OP=.
如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时,∠POF=∠PFO=30°,
∴∠BOP=90°,
∴OP=OE=,
综上所述:OP的长为或.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与*质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与*质、解直角三角形等,综合*较强,正确添加辅助线是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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